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Shrinkage covariance matrix (Ledoit, Wolf, 2003)
portfolio analytic research
2012. 3. 21. 08:38
등록일: 2012-03-21 (2012-03-21)
제목: "Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection"
저자: Ledoit, Wolf
출판사항: Journal of Empirical Finance, 10, 2003.
요약:
- 유니버스 구성 종목들간 실현수익률의 샘플 모집단sample return을 토대로 추정한 sample covariance matrix는 최우추정치MLE;maximum likelihood estimator로, 계산이 용이하고 실제 covariance matrix가 singular할지라도 non-singular하다는 큰 장점이 있지만, 다음과 같은 문제점을 내포.
1) too little structure: 기존 factor model기반 risk model(factor covariance matrix)는 factor structure의 존재로 인해 lower dimension, risk factor exposure를 조정할 수 있는 장점이 있는 반면, sample covariance matrix는 종목간 공분산 추정으로 인해 risk factor exposure 조정이 불가.
2) instability if "N>T": MLE인 sample covariance matrix가 되려면 추정에 사용되는 기간 "T"가 유니버스 구성종목 수, "N"보다 상당히 커야 함. 이를 만족하지 않을 경우 risk model의 stability가 상당히 떨어지는 문제 발생.
3) too much computational burden: "NxN" matrix를 모두 계산해야 하므로 추정변수 수는 N*(N-1)/2.
- 일반적으로 risk model(covariance matrix) 추정오차estimation error에 따른 Markowitz portfolio 성과변동성은 기대수익률expected return에 비해 낮은 편이지만, risk model의 추정오차를 개선할 수 있다면 risk-adjusted return 개선 측면에서 의미있는 시도임.
- Ledoit, Wolf(2003)는 sample covariance matrix와 1-factor CAPM 기반 structured factor-based covariance matrix의 최적조합을 찾아 risk model 추정에 있어서의 추정오차estimation error를 최소화 시도.
- Loss function을 활용, 실제 covariance matrix와 sample covariance matrix와의 매칭정도를 확인하여 최적 가중치를 결정하는 방식을 착안. 전형적인 shrinkage estimator의 형태.
- 실제 empirical test 결과, risk model의 추정오차 감소 -> IR로 대표되는 risk-adjusted return 개선 확인. Only one model 보다 hybrid model을 사용해야 하는 이유.
- 일반적으로 risk model(covariance matrix) 추정오차estimation error에 따른 Markowitz portfolio 성과변동성은 기대수익률expected return에 비해 낮은 편이지만, risk model의 추정오차를 개선할 수 있다면 risk-adjusted return 개선 측면에서 의미있는 시도임.
- Ledoit, Wolf(2003)는 sample covariance matrix와 1-factor CAPM 기반 structured factor-based covariance matrix의 최적조합을 찾아 risk model 추정에 있어서의 추정오차estimation error를 최소화 시도.
- Loss function을 활용, 실제 covariance matrix와 sample covariance matrix와의 매칭정도를 확인하여 최적 가중치를 결정하는 방식을 착안. 전형적인 shrinkage estimator의 형태.
- 실제 empirical test 결과, risk model의 추정오차 감소 -> IR로 대표되는 risk-adjusted return 개선 확인. Only one model 보다 hybrid model을 사용해야 하는 이유.
특이사항:
- 실용성, 아이디어 간결함이 좋음. Practice에서 활용할 수 있을 정도. 동일 scheme을 sample-based risk model + statistical risk model + factor-based risk model 최적조합(비중)을 결정하는 데에 활용할 수 있을 것.
- 각 risk model별 설명력이 우수할 수 있는 시장이 다르다는 데에 착안해야 할 것. statistical factor model, sample risk model은 시장이 급변하는 환경, fundamental factor의 설명력이 떨어질 수 밖에 없는 환경에서 잘 높은 설명력을 보일 수 있을 것으로 사료됨. portfolio의 herding risk를 최소화할 수 있음.
- Fundamental risk model은 정상시장normal market에서 alpha contribution, risk-budgeting 차원에서 필요. 시점에 따라 다른 weight를 줄수도 있지만, 이보다는 loss function을 활용해 stable한 weight를 주고 분산효과를 누리는 편이 바람직할 것. Market regime-dependent weighting은 또다른 betting의 문제로 귀결.
- 단, Ledoit, Wolf(2003)은 two-risk model에 대한 선택문제임. three-risk model에 대한 문제로 볼 경우 추정해야 하는 weight parameter가 2개가 됨. dimension의 증가문제, 추정오차estimation error 증가문제가 생길 수 있음. 결국은 trade-off 선택에 대한 문제. 각각의 weight에 대한 closed-form solution 정리.
- 실용성, 아이디어 간결함이 좋음. Practice에서 활용할 수 있을 정도. 동일 scheme을 sample-based risk model + statistical risk model + factor-based risk model 최적조합(비중)을 결정하는 데에 활용할 수 있을 것.
- 각 risk model별 설명력이 우수할 수 있는 시장이 다르다는 데에 착안해야 할 것. statistical factor model, sample risk model은 시장이 급변하는 환경, fundamental factor의 설명력이 떨어질 수 밖에 없는 환경에서 잘 높은 설명력을 보일 수 있을 것으로 사료됨. portfolio의 herding risk를 최소화할 수 있음.
- Fundamental risk model은 정상시장normal market에서 alpha contribution, risk-budgeting 차원에서 필요. 시점에 따라 다른 weight를 줄수도 있지만, 이보다는 loss function을 활용해 stable한 weight를 주고 분산효과를 누리는 편이 바람직할 것. Market regime-dependent weighting은 또다른 betting의 문제로 귀결.
- 단, Ledoit, Wolf(2003)은 two-risk model에 대한 선택문제임. three-risk model에 대한 문제로 볼 경우 추정해야 하는 weight parameter가 2개가 됨. dimension의 증가문제, 추정오차estimation error 증가문제가 생길 수 있음. 결국은 trade-off 선택에 대한 문제. 각각의 weight에 대한 closed-form solution 정리.
